Os Zeros da MGF: Uma Nova Abordagem

Ronaldo G. M. Rodrigues

Departamento de Física

Programa de Pós-Graduação

Universidade Federal de Minas Gerais

Ising Model States

Ising Model States

Zeros da Função de Partição

  • Nos pontos de transição de fase: $Z=0$ [1, 2].

Não é necessário o parâmetro de ordem ou grandezas termodinâmicas para identificar os pontos de transições de fase!

[1] Yang-Lee: 10.1103/PhysRev.87.404

[2] Fisher: The Nature of Critical Points

Tópicos

  • Zeros de Fisher
  • Zeros EPD
  • Zeros da MGF
  • Métodos numéricos e Modelos
  • Resultados

Zeros de Fisher

Considerando a função de partição de canônica, com $\beta=1/k_BT \in \mathbb{C}$,

$Z = \sum_E g(E)e^{-\beta E}.$

Ao discretizarmos a energia [1], $E=n\varepsilon \text{, } n = [0, \dots, M ]$, encontramos:

$Z = \sum_{n=0}^{M} g_n z^{n}$

$z = e^{-\beta \varepsilon}$

[1] Rocha, et al: 10.1103/PhysRevE.90.022601

Zeros de Fisher

$Z = \sum_{n=0}^{M} g_n z^{n} $

$=0$

$\text{Dominante: } z_c = e^{-\beta_c \varepsilon}$

Ising: L=24, Nº de Zeros = 576 [1]

[1] Paul D. Beale: 10.1103/PhysRevLett.76.78

Problemas

  • É Necessário encontrar a $g(E)$.
  • Tem um polinômio de grau elevado, que cresce com o tamanho do sistema. (500 $\Rightarrow$ 30k$)^\dagger$
  • $g(E)$ possui valores muito extremos: $[2, 10^{6770}]^\dagger$
  • Métodos númericos não são confiáveis. [1]

Não é um bom método!

[1] Costa, et al: 10.1016/j.cpc.2017.03.003

$\dagger$ Modelo de Ising 2D.

Zeros EPD

Multiplicando $Z=\sum g_n z^{n}$ por $1=\frac{e^{-\beta_o \varepsilon n}}{e^{-\beta_o \varepsilon n}}$[1] com $\beta_o=1/T_o$,

$Z =$

$$\sum_{n=0}^{M} \underbrace{g(n) e^{-\beta_o \varepsilon n}}_{h_{\beta_o}(n)}\bigg(\underbrace{\frac{z}{e^{-\beta_o \varepsilon}}}_x\bigg)^n = $$

$$\sum_{n=0}^{M} h_{\beta_o}(n) x^{n}$$

[1] Costa, et al: 10.1016/j.cpc.2017.03.003

Zeros EPD

Multiplicando $Z=\sum g_n z^{n}$ por $1=\frac{e^{-\beta_o \varepsilon n}}{e^{-\beta_o \varepsilon n}}$[1],

$Z =$

$$\sum_{n=0}^{M} \underbrace{g(n) e^{-\beta_o \varepsilon n}}_{h_{\beta_o}(n)}\bigg(\underbrace{\frac{z}{e^{-\beta_o \varepsilon}}}_x\bigg)^n = $$

$$\sum_{n=0}^{M} h_{\beta_o}(n) x^{n}$$

Os coeficientes são dados por um histograma de energia $h_{\beta_o}$!

Podemos descartar estados com baixa probabilidade de ocorrer e reduzir o grau do polinômio.

[1] Costa, et al: 10.1016/j.cpc.2017.03.003

$Z =$

$$\sum_{n=0}^{M} h_{\beta_o}(n) x^{n}$$

$\beta_o=\beta_c$

Ising $L=24$

N° zeros $= 137$

$\beta_o=\beta_c$

Ising $L=24$

N° zeros $= 78$

Reduzimos o grau do polinômio sem afetar o zero dominante!

Zeros EPD

Multiplicando $Z=\sum g_n z^{n}$ por $1=\frac{e^{-\beta_o \varepsilon n}}{e^{-\beta_o \varepsilon n}}$[1],

$Z =$

$$\sum_{n=0}^{M} \underbrace{g(n) e^{-\beta_o \varepsilon n}}_{h_{\beta_o}(n)}\bigg(\underbrace{\frac{z}{e^{-\beta_o \varepsilon}}}_x\bigg)^n = $$

$$\sum_{n=0}^{M} h_{\beta_o}(n) x^{n}$$

Os zeros EPD são os zeros de Fisher reescalados!

O zero dominante $z_c=e^{-\beta_c \varepsilon}$ reescalado é dado por, $$x_c = \frac{e^{-\beta_c \varepsilon}}{e^{-\beta_o \varepsilon}} \implies x_c=1 \text{ para } \beta_o=\beta_c$$

Temos um critério para encontrar $\beta_c$ a partir de $\beta_o$!

[1] Costa, et al: 10.1016/j.cpc.2017.03.003

Algoritmo de Convergência

  • Encontre o histograma da energia em $\beta_o^j$.
  • Normalize de forma que o valor máximo de $h_{\beta_o}$ seja $1$.
  • Descarte coeficientes menores que um limite $h_t$.
  • Encontre o zero dominante $x^j_c(L)$.
    • Se $x^j_c$ estiver próximo ao ponto $(1, 0)$, pare.
    • Se não, faça $\beta^{j+1}_o(L) = - \text{ln}(\Re e[x^j_c(L)]) / \varepsilon + \beta^j_o(L)$ e volte a $(1.)$.

Grandezas estimadas

Estimamos $\beta_c$ e $\nu$ utilizando a teoria de escala de tamanho finito (FSS):

$$\beta_c(L) = \beta_c + a L^{-1/\nu},$$

$$\Im m \{x_c(L)\} = b L^{-1/\nu} .^*$$

$^*$ É esperado que a parte imaginária escale dessa forma [1] .

[1] Costa, et al: 10.1016/j.cpc.2017.03.003

Comparação (Ising 2D)

Fisher$^*$: $g(E)$

EPD$^{*}$: $h_{\beta_o}(n)^{\dagger}$

L Fisher EPD$^{**}$
24 576 136
32 1024 193
64 4096 433
150 22500 1037

* Precisa discretizar

**Descarte $h_t=10^{-4}$

$\dagger$ $\beta_o=\beta_c(L)$

Outras formas

$$= P(E)$$

$$ \equiv $$

$$m_n(E) = $$

Momentos
$\langle E \rangle = ... $
$\langle E^2 \rangle = ... $
$\langle E^3 \rangle = ... $
$\langle E^4 \rangle = ... $
$\langle E^5 \rangle = ... $

MGF da energia

$$M_E(y) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\langle E^n \rangle y^n}{n!}$$

Cumulantes

$$k_n = \frac{d^n \text{ln } M_E(y)}{dy^n}\Bigg|_{y=0} $$

Zeros da MGF

Partindo dos zeros EPD,

$$Z = \sum_E h_{\beta_o}(E)e^{-\Delta \beta E}, \text{ com } \Delta\beta=\beta - \beta_o $$

Não é necessário discretização.

Expandimos $e^{-\Delta \beta E}$ [1] e encontramos,

Número de zeros é $\infty \Rightarrow$

$$Z = Z_o\sum_k^{\infty} \frac{\langle E^k \rangle}{k!}(\underbrace{-\Delta \beta}_{y})^k = \underbrace{Z_o}_{cte}M_{E}(y) =0$$

A mesma informação de $Z = 0$ está contida em $M_E(y)=0$.

$y_c=\beta_c - \beta_o \implies y_c = 0$ para $\beta_o=\beta_c$.

[1] Rodrigues, et al: 10.1103/PhysRevE.104.064103

Truncando a série

Os zeros se expandem a partir do ponto $(0,0)$.

Comparação (Ising 2D)

Fisher$^*$: $g(E)$

EPD$^{*}$: $h_{\beta_o}(n)^{\dagger}$

MGF: $\langle E^n \rangle^{\dagger}$

L Fisher EPD$^{**}$ MGF
24 576 136 35
32 1024 193 36
64 4096 433 40
150 22500 1037 49

* Precisa discretizar

** corte de $10^{-4}$

$\dagger$ $\beta_o=\beta_c(L)$

Algoritmo de Convergência

  • Encontre os momentos $m_k(\beta_o^j)$ em $\beta_o^j$.
  • Truncamos a série em um termo $k_{max}$.
  • Encontre os zeros do polinômio com coeficientes $m_k(\beta_o^j) / k!$.
  • Encontre o zero dominante $y^j_c(L)$.
    • Se $y^j_c$ estiver próximo ao ponto $(0, 0)$, pare.
    • Se não, faça $\beta^{j+1}_o(L) = \beta^j_o(L) - \Re e\{y^j_c(L)\}$ e volte a $(1.)$.

Relação de escala

Na transição de fase, os momentos da energia escalam seguindo:

$\frac{\langle E^n \rangle}{L^{n/\nu}} = C(n) \to $ constante independente de $L$.

Por causa disso, na transição de fase todos os zeros escalam seguindo[1]:

$ \frac{y_k(L)}{L^{-1/\nu}} = D(k) \to $ constante independente de $L$.

Em particular para o zero dominante, como $\Re e \{y_c\} \approx 0$,

$\Im m \{y_c(L)\} = c L^{-1/\nu}$

[1] Rodrigues, et al: 10.1103/PhysRevE.104.064103

Generalização do método

  • É possível encontrar transições de fase usando outros parâmetros do sistema, como um campo externo $H$ [1].

MGF da magnetização:

$$Z \propto \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\langle M^k \rangle}{k!}w^k$$

$$w=\beta \Delta H$$

[1] Rodrigues, et al: 10.1103/PhysRevE.104.064103

Grandezas estimadas

É possível estimar dois expoentes, $\nu$ e $B$.

MGF da energia:

$$ \beta_c(L) = \beta_c + a L^{-1/\nu} $$ $$ \Im m \{y_c(L)\} = b L^{-1/\nu}$$

MGF da magnetização:

$$ H_c(L) = H_c + c L^{B/\nu -d} $$ $$ \Im m \{w_c(L)\} = d L^{B/\nu -d}$$

Monte Carlo

Gerar estados seguindo:

$ P_{\{\sigma\}} = \frac{e^{-\beta E_{\sigma}}}{Z} $

As médias são simples:

$ \langle\mathcal{O}\rangle \approx \frac{1}{N} \sum_{i}^{N} \mathcal{O}_i $

Alogritmo de Metropolis

    • Se $r < e^{-\beta \Delta E}$, aceite.
    • Se $r > e^{-\beta \Delta E}$, rejeite.

Cluster de Wolff

  • Adicione ao grupo com probabilidade $P_{\text{ad}} = 1 - e^{-2\beta J}$.

Histograma Múltiplo

$P_{\beta_o}(E) = \frac{\sum_i H_i(E)}{\sum_j n_jZ_j^{-1} e^{\beta_o-\beta_j E}}$

Ising 2D - 3D

$$\mathcal{H}(J, H) = -J \sum_{\langle i,j \rangle} \sigma_i\sigma_j - H \sum_i \sigma_i \quad \text{com }\quad \sigma_i = \pm1$$

Transições de fase:

  • Continua em $T = T_c$.
  • Descontinua para $T\leq T_c$ e $H=0$.

Potts

$$\mathcal{H}(J, h) = -J \sum_{\langle i,j \rangle}\delta(\sigma_i, \sigma_j) \quad \text{com }\quad \sigma = [1, \dots ,q]$$

Transições de fase:

  • Para $q\leq4$ transição continua.
  • Para $q>4$ transição descontinua.
  • $T_c = 2/\text{ln } (1 + \sqrt{q})$.

Resultados

  • Comparantivo entre os zeros da MGF e os zeros EPD.
  • Modelo de Ising em $2$ e $3$ dimensões. (Transição de fase continua)
  • Modelo de Potts com $q=6$ em $2$ dimensões. (Transição de fase descontinua)

MGF - EPD (Ising 2D)

Resultados equivalentes são obtidos usando os zeros da MGF ou os zeros EPD.

$T_c(L) = T_c + a L^{-1/\nu}$

MGF - EPD (Ising 2D)

Resultados equivalentes são obtidos usando os zeros da MGF ou os zeros EPD.

$\Im m \{x_c(L)\} = b L^{-1/\nu}$

$\Im m \{y_c(L)\} = c L^{-1/\nu}$

MGF - EPD (Ising 2D)

Resultados equivalentes são obtidos usando os zeros da MGF ou os zeros EPD.

MGF EPD ($10^{-1}$) EPD ($10^{-100}$)
$T_c$ 2.2687(8) 2.2692(9) 2.2692(5)
$\nu$ 1.02(2) 1.02(2) 1.07(1)

Valores exatos: $\nu = 1$ e $T_c = 2.2691$.

MGF - EPD (Ising 2D)

Polinômio dos zeros da MGF tem um grau menor que cresce devagar com $L$.

MGF - EPD (Ising 2D)

Os zeros da MGF são mais rápidos ($100$x).

MGF - EPD (Potts $q=6$)

Os zeros da MGF são melhores pois não dependem da forma da distribuição de probabilidade para descartar estados

MGF - EPD (Potts $q=6$)

Os mesmos resultados equivalentes são obtidos usando os zeros da MGF ou os zeros EPD.

MGF e EPD: $T_c=0.80763(3)$.

Exato: $T_c = 0.80760$.

MGF - EPD (Potts $q=6$)

Polinômio dos zeros da MGF tem um grau menor que cresce devagar com $L$.

MGF - EPD (Potts $q=6$)

Os zeros da MGF são mais rápidos ($300 \approx 400$x).

MGF no Ising 3D

  • Consideramos redes com $L=24,$ $32,$ $48,$ $64,$ $80,$ $96,$ $112,$ $128,$ $144,$ $160,$ $192,$ $256$.
  • $500$ simulações em $\beta=0.221654$ para cada $L$.
  • $1.5$x$10^5$ passos de termalização.
  • $5$x$10^6$ passos de Monte Carlo.
  • $520$GB de arquivos salvos.

MGF no Ising 3D

Os zeros EPD levariam para analisar todos as simulações: $591$ dias com $h_t=10^{-1}$ e $326$ dias com $h_t=10^{-100}$.

Os zeros da MGF levam só $4$ horas!

MGF no Ising 3D

Grandezas consideradas para o cálculo de $T_c$ e $\nu$:

  • $\partial_{\beta}|m|$, $\chi$, $y_c$.
  • $\partial_{\beta}\text{ln }|m|^n$ para $n=1,2,3,4$.
  • $\partial_{\beta}U_n$ para $n=2,4,6$.

Consieramos $3$ termos de correção ao fazer as regressões:

$\mathcal{O} = A_1 L^{-1/\nu}$

$(1 + A_2L^{-\omega_1} + A_3L^{-\omega_2} + A_4L^{-\omega_{\nu}})$

$w_1=0.83, w_2=4, w_\nu=1.6$

MGF no Ising 3D

Encontrado: $\nu = 0.628(4)$.

Esperado: $\nu=0.629912(86)$.

MGF no Ising 3D

Encontrado: $T_c = 4.511535(7)$.

Esperado: $T_c=4.511524$.

Conclusão

  • Os zeros da MGF são computacionalmente eficientes.
  • Obtêm os mesmos resultados que os outros métodos.
  • Podem obter diversas estimativas para expoentes críticos.
  • Facilmente aplicável a sistemas grandes.

Perspectivas

  • Encontrar somente o zero dominante.
  • Transições de fase dinâmicas quânticas.
  • Grupo de renormalização.
  • Transições de fase fora do equilibrio.
  • Transições de fase quânticas.

Agradecimentos